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–SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER – ECHANTILLONNAGE APPLIQUE AUX SPECTRES ETROITS

Considérons le cas général d’une fonction f(t) dont le spectre fréquentiel s’étend entre ν₀ et ν₀ + Δν (cas d’un spectre étroit).

Figure 1:

Spectre fréquentiel de la fonction f.

Dans le cas où Δν est très petit devant ν₀, le théorème de Shannon est pénalisant car le domaine spectral couvert entre 0 et ν₀ + Δν est pratiquement vide. Il est cependant possible d’échantillonner f(t) avec un pas beaucoup plus grand à condition de se prémunir contre le repliement de spectre. Il doit y avoir alternance sans recouvrement des spectres des fréquences nédgatives et positives ce qui conduit à un pas d’échantillonnage optimal

Pour obtenir, le spectre du signal de départ il reste à filtrer les bandes latérales par un filtre adéquat (figure 2). Le filtre le plus simple est un filtre passe-bande du type :

Figure 2:

Reconstitution du spectre de départ grâce au filtre passe-bande S.

dont la transformée de Fourier inverse s’écrit :

Il est alors possible de retrouver la fonction de départ f(t) :

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EXEMPLE DE RECONSTRUCTION

Le modelè précédent a été appliqué à l’étude du spectre atmosphérique centré autour de 750 cm-1. La largeur du spectre est Δν = 40 cm-1. Avec les notations précédentes, on obtient

Nous avons choisi de simuler ce spectre atmosphérique par un profil gaussien normalisé dont la transformée de Fourier est bien connue : où σ² est la variance de la gaussienne.

Figure 5:

Spectre bilatère étudié (la figure du bas détaille la raie modélisée).

D’après le théorème de Shannon généralisé, le pas minimum d’échantillonnage pour reconstituer f(x) doit être de

En pratique, on assurera une marge en considérant un pas une fois et demi plus petit, soit un pas de 83 μm ce qui correspondrait à un Δν effectif de 60 cm-1.

Si nous voulons une résolution de δν = 0,2 cm-1, le chemin optique maximal devra être

Le nombre d’échantillons nécessaire à la reconstruction de l’interférogramme pour obtenir la résolution souhaitée est donc donné par :

où E est la fonction partie entière qui arrondit à l’entier supérieur.

A partir des valeurs échantillonnées de f l’interférogramme complet peut être reconstruit :

Figure 6:

Interférogrammes échantillonné et reconstruit.

Reste alors à calculer sa transformée de Fourier inverse pour obtenir le spectre de f(x). Ceci peut être fait par FFT.

Figure 9:

Spectre déduit de l’interférogramme reconstruit par FFT.

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–SPECTROSCOPIE PAR TRANSFORMEE DE FOURIER STATIQUE

La réduction importante du nombre d’échantillon dans le cas du traitement décrit ci dessus pour les spectres étroits permet d’envisager un dispositif entierèment statique pour réaliser l’échantillonnage. Ce type de dispositif se révélait trop complexe pour être appliqué à la spectroscopie par transformée de Fourier classique.

L’interférometre se compose donc d’un interféromètre classique de Michelson. Les deux miroirs sont remplacés par des miroirs à échelette. Chaque zone du miroir à échelette représente en fait un mini Michelson, avec une différence de marche précise, à imager sur un détecteur élémentaire d’une matrice CCD (par exemple).

On peut ainsi acquérir instantanément grâce à une matrice tous les échantillons nécessaires à la reconstruction du spectre.

Détail du dispositif de miroir à échelette :

Le but est de constituer un interféromètre multivoie. A chacune des voies on associe un chemin optique particulier et un détecteur.

Si on note N_ech le nombre d’échantillons nécessaire à la reconstruction de l’interférogramme et p le pas d’échantillonnage, les différents chemins optiques ont pour valeurs : 0,…,p(N_ech –1). On suppose également que N_ech = k².

Une manière d’obtenir ces valeurs de chemins optiques à partir du dispositif ci-dessus consiste à graver par exemple le miroir supérieur avec un pas égal à et le miroir de gauche avec un pas égal à . Dans ce cas le chemin optique s’écrit en fonction des indices lignes/colonnes sous la 2n

forme :

où L_l,c est le chemin géométrique associé au chemin optique Δ_l,c.

Une vue du côté sortie de l’interféromètre est représentée ci-dessous. Les cases correspondent aux différents chemins optiques dans le cas particulier où k = 4.